LA PARÁBOLA

La parábola

En matemática la parábola es la sección conica de la excentricidad igual a 1 resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo angulo de inclinación respecto al eje de revolución del coo sea igual al presentado por su gereratiz. El plano resultara por lo tanto paralelo a dicha recta . se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz , y un punto exterior a ella llamado foco . En geometría proyectiva , la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homologos en una proyectividad semejante o semejanza

Aquí tenemos un ejemplo sencillo de una parabola ordinararia

En nuestra vida cotidiana también hacemos mucho este ejercicio , aunque no lo sepamos constantemente lo estamos ejerciendo

Ejm :

Si das una patada a una pelota de futbol ( o disparas una flecha o un misil, tiras una piedra ) seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta 

En una hoja de papel , dibuja una línea recta, y marca un punto gordo para el foco ( que no este en la línea )

Ahora juega un poco midiendo con una regla hasta que encuentres un punto que este a la misma distancia del foco y de la línea

Repite hasta que tengas muchos focos, uniéndolos tendrás una parábola

Nombre importantes de la parábola ;

La directriz y el foco ( están explicado arriba )

El eje de simetría ( pasa por el foco perpendicular a la directriz )

El vértice ( donde a la parábola hace el giro mas fuerte) esta a medio camino entre el foco y la directriz

Reflector

Y la parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente

Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie directamente hacia el foco asi las parábolas se pueden usar para :

Antenas

Radares

Concentrar los rayos solares , calentar los puntos  , los espejos dentro de focos y lineares ect …

Y por eso se llama foco , porque hay se enfocan todos los rayos solares

Tambien sale una parábola cuando seccionas un cono (el corte tiene que ser paralelo al lado del cono )

Por tanto , la parábola es una sección conica ( una sección de un cono )

Ecuaciones

Si pones la parábola en coordenadas cartesianas ( grafico x –y) con :

El vértice en el origen “O” y

El eje de simetría en el eje x, entonces la curva queda definida por la ecuación :

Y2  =4ax

Ejemplo : donde esta el foco de la ecuación y2 = 5x

Si ponemos y2 = 5x en la forma y2 = 4ax, tenemos que y2 = 4(5/4) x,

Así que a = 5/4, el foco de y2 = 5x es:

F= (o,O) = (5/4,0)

Las ecuaciones de las parábolas en la distintas orientaciones son :

  

  Y²=4ax                       Y²=-4ax                              X²= 4ax                              X²= -4ax

Les dejaremos un problema de ejemplo

Medidas para una antena parabólica

Si quieres construir una antena parabólica que tenga el foco 200 mm sobre la superficie, ¿Qué medidas necesitas?

Para que sea fácil hacer, digamos que apunte hacia arriba, y asi tenemos la ecuación x2=4ay

Y queremos que “a” sea 200 asi que la ecuación queda:

X2 = 4ay=4 x 200 x y = 800y

La rescribimos para poder calcular la altura

Y= x2/800y

Aquí tienes algunas medidas de altura que van saliendo

Orientación parábola

Distancia horizontal (“x”)

Altura (“y”)

0 mm        0 0 mm

100 mm        12,5 mm

200 mm        50,0 mm

300 mm        112,5 mm

400 mm        200.0 mm

500 mm        312,5 mm

600 mm        450,0 mm