IDENTIDADES, LEY DEL SENO Y COSENO

Identidad

Es igualdad entre dos expresiones que matemáticamente se escribe diferente pero es lo mismo y es valida para cualquier valor que tome la variable o las variables.

Ejemplo:  X² + 2x + 1 = (x + 1)²

Cuando es una identidad se involucran las funciones trigonométricas estas se dominan identidades trigonométricas.

Ejemplo: Sen²θʹ + Cos²θʹ = 1

(√3/2)² + (1/2)² = ¾ + ¼ = 4/4 = 1

Identidades Fundamentales

Se llaman identidades fundamentales a aquellas que se deducen directamente de las definiciones.

Estas identidades se utilizan para transformar una expresión en otra, la cual permite comprobar otras identidades y resolver ecuaciones que involucran funciones trigonométricas.

Reciprocas

Secθ=  r/X = 1/Cosθ

Cscθ= r/Y = 1/Senθ

Tanθ= 1/Cotθ

Cocientes

Tanθ= Y/X= Senθ/Cosθ

Cotθ= X/Y= Cosθ/Senθ

Pitagoricas

R²= X² + Y²

1= Cos²θ + Sen²θ

Cos²θ= 1-sen²θ

Sen²θ= 1-cos²θ

Tan²θ + 12sec²θ

Tan²θ= Sec²θ-1

Cot²θ + 1 = csc²θ

Cot²θ= csc²θ-1

Demostración de una identidad

Consiste en mostrar que uno de los miembros de una igualdad es igual a otro. Para ello se sugiere los siguientes pasos:

1.    Transformar el miembro mas complejo de la igualdad en el miembro mas simple haciendo uso de las identidades fundamentales.

2.    De ser posible expresar las funciones trigonométricas que aparecen en la igualdad en términos de seno y coseno.

3.    Realizar las operaciones algebraicas para simplificar la expresión.

En algunos casos, se hace mas simple si se transforma ambos lados de la igualdad hasta llegar a expresiones iguales.

Ejemplo:

Resolución de triángulos oblicuángulos

En este tema se estudiara la solución de triángulos en los cuales ninguno de los angulos es recto.

Este tipo de triángulos se denomina oblicuángulos.

Para resolver triángulos oblicuángulos se usan dos teoremas:

·         Teorema o ley del seno

·         Teorema o ley del coseno

En la resolución de triángulos se pueden presentar 4 casos.

  

CASO 1. (LAA ó ALA)

Si se conocen dos ángulos y un lado.

CASO 2. (LLA)

Si se conocen dos lados y un ángulo.

CASO 3. (LAL)

Si se conocen dos lados y el angulo comprendido entre ellos.

CAS 4. (LLL)

·         Para resolver triángulos que cumplen las condiciones del caso 1 y 2 se utiliza la ley del seno.

·         Para resolver triángulos que cumplen las condiciones del caso 3 y 4 se utiliza la ley del coseno.

LEY DEL SENO.

En todo triangulo el seno de los ángulos y l medida de sus lados respectivamente opuestos a dichos ángulos son directamente proporcionales.

Ejemplo.

AQUÍ LES DEJO UN VÍDEO, DEMOSTRANDO UN EJEMPLO DE ELLO: https://www.youtube.com/watch?v=0fvrPz75hpI&t=137s

LEY DEL COSENO

En todo triangulo el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados, menos dos veces el producto de estas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

Es decir dado el triángulo A, B, C se cumple que:

                       

Ejemplo:

GEOMETRIA ANALITICA

La geometría analítica se caracteriza por la aplicación de los métodos algebraicos al estudio de la geometría mediante el uso de sistema de coordenadas.

UN LUGAR GEOMETRICO

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos del plan que cumple determinada característica común. Si la característica se puede representar mediante una relación algebraica, a dicha relación se le llama ecuación del lugar geométrico.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

La distancia entre dos puntos es igual a P1 (X1,Y2) y P2 (X2,Y2) del plano se denota d(P1,P2) y se determina:

D(P1, P2) = √(X2 – X1)² + (Y2 – Y1)²

PENDIENTE DE UNA RECTA

Se define como una pendiente “m” de la recta que pasa por los puntos P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) como: m= Y2-Y1/ X2-X1 = X2≠X1

M= -5-3/ 4-(-2) = -8/4+2 = -8/6 = -4/3

Asi la pendiente de la recta es igual a la tangente del angulo que forma la recta con la parte positiva del eje X, el angulo se conoce como ANGULO DE INCLINACION DE LA RECTA. Es decir, es posible definir la pendiente de una recta en función del angulo de inclinación.